Il Teorema di Fermat | Una ipotesi di dimostrazione da parte del Prof. Luciano Pranzetti

“Questo è il tentativo di un ex docente di Letteratura e Storia – amante della matematica – di produrre la dimostrazione del famoso “Teorema di Fermat”, tentativo portato a conoscenza di varie istituzioni  e di alcuni luminari del campo, senza mai riceverne risposta sottintendendo, in tal modo, la non canonicità dell’elaborato. Lo porto a conoscenza degli amici di internet perché, tra quanti che mangiano aritmetica, matematica, geometria, analisi, vi sia chi possa indicarmi dove “casca l’asino”, dove è manchevole la dimostrazione o, al contrario – e sarebbe un piacere immenso – dove e perché ci ho azzeccato”.

CONGETTURA DI FERMAT O L’ULTIMO TEOREMA

IPOTESI DI DIMOSTRAZIONE

“Cubum autem in duos cubos aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos et generaliter, nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere”.

Questa è l’osservazione che Pierre de Fermat (1607 – 1665) annotò in margine alla sua copia della Arithmetica di Diofanto, vicino al problema n. 8, e che così traduciamo:

 “Non è possibile scrivere un cubo come la somma di due cubi o una quarta potenza come somma di due quarte potenze o, in generale, nessun numero che sia una potenza maggiore di due può essere scritto come somma di due potenze dello stesso valore”

Dopo aver definito la teorìa in questa prima nota al margine della pagina, il genio lasciò un commento che avrebbe, in séguito, fatto impazzire intere generazioni di matematici: “Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet” e, cioè: Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che l’esiguità del margine non potrebbe contenere”.

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DEFINIZIONE DEL TEOREMA

Data l’espressione a2 + b2 = c2, non può aversi equivalenza con un esponente n ˃ 2.

IPOTESI DI DIMOSTRAZIONE

È noto, per il teorema di Pitagora, essere a2 + b2 = c2, ed è altrettanto dimostrato che siffatta equivalenza vale per tutti i triangoli retti, in quanto simili tra loro, soltanto con esponente n = 2.

Si vuole, pertanto, affermare la tesi secondo cui, con un esponente n > 2 l’equivalenza decade.

Si ammetta, tuttavìa, l’ipotesi che anche per un qualche esponente n > 2 possa sussistere l’equivalenza e se ne voglia proporre dimostrazione. 

Si dia, allora, per facilità di calcolo, una terna i cui termini a – b – c stìano fra loro in rapporto come 3 : 4 : 5 dove lo sviluppo progressivo della terna con esponenti successivi n > 2 possa concludere a una equivalenza di tipo an + bn = cn.

Vero essendo che l’algoritmo adottato per a = 3, b = 4, c = 5 è applicabile a tutte le infinite terne numeriche a – b – c, dette ‘pitagoriche’, sarà sufficiente sviluppare le potenze del modello dato sino a un esponente congruo tale da poterne derivare, mediante il metodo sperimentale del calcolo, il criterio universale e matematico che asseveri o contraddica la tesi.

Si proceda, allora, alla verifica dell’equivalenza con lo sviluppo degli esponenti fino a n = 15.

CALCOLO E SVILUPPO

an + bn = cn                                                                                         an + bn                                                                          cn

31  +  41 =   51                                                     3 + 4                                                            5     

32  +  42 =   5 2                                                     9 + 16                                                          25

33  +  43 =   53                                                                                  27 + 64                                                         125           

34  +  44 =   54                                                                                  81 + 256                                                       625  

35  +  45 =   55                                                   243 + 1024                                                    3125     

36  +  46 =   56                                                   729 + 4096                                                    15625                                         

37  +  47 =   57                                                                               2187 + 16384                                                 78125

38  +  48 =   58                                                        6561 + 65536                                                 390625                  

39  +  49 =   59                                                 19683 + 262144                                              1953125

310 +  410 =  510    59049 + 1048576                                            9765625                                          

311 +  411 =  511                                               177147 + 4194304                                           48828125                                    

312 +  412 =  512                                                                         531441 + 16777216                                         244140625   

313 +  413 =  513                                                                       1594323 + 67108864                                        1220703125             

314 +  414 =  514                                                                       4782969 + 268435456                                      6103515625

315 +  415 =  515                                            14348907 + 1073741824                                   30517578125

Si proceda al calcolo della somma (an  +  bn) e, successivamente, si trovi il rapporto secondo la formula

             cn

———————————- fino ai decimillesimi.

     (an + bn)               

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            A                                                                       B                                                                                C

———————————————————————————————————————————————–

                                                                                                                                                                              cn                     

         (an + bn)                                                               cn                                                                         —————–

                                                                                                                                                                      (an + bn) 

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3 + 4   = 7                                                                     5                                                                             0, 7142           

9 + 16 = 25                                                                   25                                                                          1, 0000

27 + 64 = 91                                                                 125                                                                        1, 3736

81 + 256 = 337                                                             625                                                                        1, 8545

243 + 1024 = 1267                                                      3125                                                                      2, 4664

729 + 4096 = 4825                                                      15625                                                                    3, 2383        

2187 + 16384 = 18571                                                78125                                                                   4, 2068   

6561 + 65536 = 72087                                                390625                                                                 5, 4180

19683 + 262144 = 281827                                         1953125                                                               6, 9302

59049 + 1048576 = 1107625                                     9765625                                                               8, 8167

177147 + 4194304 = 4371451                                   48828125                                                           11, 1697

531441 + 16777216 = 17308657                               244140625                                                        14, 1051

1594323 + 67108864 = 68703187                             1220703125                                                      17, 7677

4782969 + 268453456 = 273218425                         6103515625                                                      22, 3393

14348907 + 1073741824 = 1088090731                  30517578125                                                    28, 0469   

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Dalla colonna C, ove è indicato il rapporto numerico cn/ (an + bn), si evidenzia, nella successione del calcolo, un progressivo e continuo incremento dello stesso. Ciò dimostra come, potendosi assimilare il valore di cn e di (an + bn) a due grandezze divergenti prima e dopo il comune valore 25, anche i loro rapporti tendano, con il continuo incremento, sempre più a dilatarsi, senza subire regressioni e, tanto meno, senza convergere in un possibile rapporto 1,000 come nel caso c2/ (a2 + b2).

I  Pertanto, con un esponente n > 2 applicato a una terna qualsiasi, non si potrà mai verificare l’equivalenza che si è ipotizzata in quanto la linea che i valori dei rapporti tracciano sugli assi cartesiani [x = successione dell’esponente n, e y = cn/ (an + bn)] disegna una inequivocabile curva parabolica il cui sviluppo all’infinito mai consentirà di delineare una nuova configurazione tale che si abbia an + bn  = cn  in cui n > 2 . Nel grafico allegato, per l’impossibilità di localizzare i decimillesimi, si è tenuto conto di una visibilità dell’intersezione xy col numero intero fino ai soli centesimi in larga approssimazione.

Non sembri ozioso notare come, dopo la configurazione quadrata = 1,0000, le successive, derivate dalla intersezione xy, sìano tutte rettangolari con i lati corrispondenti a x (n) che procede con regolare aumento di unità, e a y [cn/ (an + bn)] che dilata progressivamente il suo valore ad ogni successivo passo tale che mai, nel séguito, potrà darsi una configurazione quadrata.

   Con ciò si dichiara dimostrata la tesi secondo cui non è possibile ottenere an + bn = cn con n > 2.

C.V.D.

    Se si obietta che per ottenere siffatta soluzione mi sono avvalso, inizialmente, del metodo sperimentale, rispondo ricordando che Eulero, per individuare i numeri perfetti, ha sviluppato calcoli pratici; che, per affermare S = n (n + 1) /2, Gauss ha effettuato la conta delle coppie; che per dimostrare l’universalità della formula D = n (n – 3) /2 si è fatta la conta delle diagonali proprie di ogni poligono. E Archimede trovò la regola del peso specifico secondo quanto si racconta del suo esperimento con la corona aurea di Gerone II.  

NOTA CRITICO – STORICA

È stato sollevato, da molti studiosi, il dubbio che Pierre de Fermat, nel redigere la famosa nota a margine sul libro di Diofanto, abbia inteso celiare o sapidamente distrarre i matematici col fare allusione a una soluzione che, in realtà, non possedeva. Per la sua personalità, per il suo carattere, il giudice Fermat, fede facendo le altre sue produzioni scientifiche e le sue sentenze giudiziarie, non si mostrò affatto incline allo scherzo e, tanto meno, al gioco infantile del rimpiattino.

   Definendo ‘mirabilem’ la dimostrazione della propria congettura, faceva intendere che tale era, perché facile ma sottile, breve sì, ma non da potersi scrivere nello spazio del margine. Intendeva dire che la soluzione era percepibile con le conoscenze e le categorìe matematiche dell’epoca.

   Tuttavìa, Andrew Wiles (1953. . .), il vincitore del premio Wolfskehl (1996), è dovuto ricorrere, per la soluzione, a teorìe e a nozioni matematiche che Fermat e il suo tempo non possedevano. Il voluminoso carteggio – 200 pagine – a ciò elaborato dallo studioso, non corrisponde, pertanto, alla chiosa di Fermat.

  Io credo che il ‘Principe dei dilettanti’ avesse ben presente la soluzione ma così semplice che non si preoccupò di tornarci sopra, come spesso avviene per le cose di facile disbrigo. E nacque, dopo la sua morte, il mito dell’ultimo teorema.

Santa Marinella, luglio 2020                                                                                          

Prof. Lett. Luciano Pranzetti